Квантовая механика трудный предмет. Но сейчас по нему появилось много хороших и понятных книг. Особенно мне понравилась книга Леонарда Сасскинда и Арта Фридмана "Квантовая механика. Теоретический минимум". Начинается эта книга с описания некоего квантового эксперимента, но авторы почему-то не призносят его название. На основе полученных результатов этого эксперимента во многом строится все дальнейшее повествование в книге. На самом деле этот эксперимент носит название составленное из имен двух ученых - Отто Штерна и Вальтера Герлаха. Эксперимент Штерна-Герлаха внес огромный вклад в понимание квантовой механики. Интересно и то, что на основании, казалось бы, не очень обширной информации, которую можно извлечь из анализа его результатов, на основе этого эксперимента вполне возможно создать достаточно адекватный математический аппарат для описания некоторых разделов квантовой механики.
Пожалуй, первым из тех, кто обратил внимание на то, что понятное объяснение квантовой механики можно достигнуть путем рассмотрения результатов этого эксперимента был Ричард Фейнман. В его лекциях по физике том посвященный квантовой механике почти сразу начинается с разбора результатов этого эксперимента.
В первой главе данного сайта сделана попытка создать программу содержащую виртуальный эксперимент Штерна-Герлаха. Я старался сделать программу максимально совпадающюю по своим возможностям с реальным физическим экспериментом. Интерактивно можно задавать параметры при проведении виртуального эксперимента и сразу получать его результаты. При создании программы в основном руководствовался описанием эксперимента в книге Сасскинда и Фридмана.
Во второй главе представлена небольшая интерактивная программа поясняющая важный факт на который,
почему-то, обычно не обращают особого внимания. Смысл этого факта заключается в следующем.
В процессе проведения эксперимента Штерна-Герлаха мы получаем результаты, которые при желании можно
представить противоположно направленными векторами.
Но в математике квантовой механики противоположность векторов заменена на их ортогональность.
Это приводит к далеко идущим последствиям. Появляется возможность ввести скалярное
произведение векторов и использовать все возможности линейной алгебры. Появляются половинные,
или наоборот двойные углы - смотря с какой стороны на это посмотреть.
Но при этом появляется необходимость различать реальное физическое пространство, в котором находится электрон,
и математическое (спинорное) пространство в котором математически описывается вращение этого электрона.
Если в спинорном пространстве электрон делает один оборот, то в физическом пространстве этот
же электрон делает на самом деле два оборота.
Во второй главе также приводится перевод небольшой заметки Сасскинда, в которой затронута эта тема.
В третьей главе представлена интерактивная программа, которая демонстрирует половинные углы при описании поворотов электрона в спинорном пространстве. Как уже говорилось, появление половинных углов является прямым следствием замены противоположно направленных векторов на ортогональные векторы. В этой главе, и в интерактивной программе из нее, особое внимание уделено выбору базисных векторов, которые будут использоваться в следующей главе в 3D-программе визуализирующей повороты электрона в физическом и спинорном пространствах.
В четвертой главе приводится 3D-программа позволяющая наблюдать повороты электрона в физическом и спинорном пространствах.
Одновременно можно увидеть соответствующие значения вектора состояния квантовой системы. В некотором смысле
эта программа подобна программе визуализации сферы Блоха. Однако, на мой взгляд, она более ясно демонстрирует
изменения вектора состояния при одновременной визуализации поворотов электрона как в физическом,
так и в спинорном пространствах.
Также в этой главе приводятся подробные решения трех задач из книги Сасскинда и Фридмана (в книге нет их решений).
Эти задачи наглядно демонстрируют некоторые важные моменты квантовых вычислений, которые понадобятся в шестой главе,
которая посвящена квантовым вращениям. При рассмотрении решения этих задач очень хорошо проявляется смысл собственных
векторов и собственных значений квантовых операторов.
В пятой главе рассматривается сфера Блоха - Римана - Пуанкаре. Приводится соответствующая интерактивная программа. В этой главе я хотел коснуться теории спиноров, но решил, что лучше сделать перевод некоторых глав из книги, которая, в отличие от других книг и статей, как мне кажется, наиболее понятно объясняет эту теорию Изотропные векторы, стереографическая проекция и спиноры в сферических координатах.
В шестой главе с помощью программы, приведенной в ней, можно увидеть визуализацию трехмерных вращениий
на сфере Блоха - Римана - Пуанкаре. Одновременно в программе осуществляется дробно-линейное преобразование и,
как следствие этого, вращения отображаются не только на сфере, но и на комплексной плоскости.
Возможно, зта самая интересная программа из приведенных на данном сайте.
Также в программе можно увидеть вращение вектора Блоха, которое осуществляется при помощи трех матриц Паули
и матрицы Адамара. Приводятся математические вычисления используемые при описании этих вращений.
Программы из первой, четвертой, пятой и шестой глав выполнены при помощи библиотеки three.js позволяющей работать с технологией webgl. Программы из второй и третьей главы сделаны на основе HTML5 Canvas.
При создании программ этого сайта я пользовался своими, ранее сделанными сайтами, которые можно увидеть по ссылкам Three.js и геометрия и Canvas и геометрия.
Quantum mechanics is a difficult subject. But now a lot of good and understandable books have appeared on it. I especially liked the book by Leonard Susskind and Art Friedman "Quantum Mechanics. The theoretical minimum". This book begins with a description of a certain quantum experiment, but for some reason the authors do not mention its name. On the basis of the results of this experiment, in many ways, the entire further narrative in the book is built. In fact, this experiment has a name made up of the names of two scientists - Otto Stern and Walter Gerlach. The Stern-Gerlach experiment has made a huge contribution to the understanding of quantum mechanics. It is also interesting that, based on the seemingly not very extensive information that can be extracted from the analysis of its results, it is quite possible to create a sufficiently adequate mathematical apparatus based on this experiment to describe some sections of quantum mechanics.
Perhaps the first of those who drew attention to the fact that an understandable explanation of quantum mechanics can be achieved by considering the results of this experiment was Richard Feynman. In his lectures on physics, the volume devoted to quantum mechanics almost begins with an analysis of the results of this experiment.
In the first chapter of this site, an attempt was made to create a program containing a virtual Stern-Gerlach experiment. I tried to make the program as much as possible consistent in its capabilities with a real physical experiment. Interactively, you can set parameters during a virtual experiment and immediately get its results. When creating the program, I was mainly guided by the description of the experiment in the book by Susskind and Friedman.
The second chapter presents a small interactive program explaining an important fact that, for some reason,
is usually not paid much attention to. The meaning of this fact is as follows. In the process of conducting the Stern-Gerlach experiment,
we get results that, if desired, can be represented by oppositely directed vectors.
But in the mathematics of quantum mechanics, the opposite of vectors is replaced by their orthogonality.
This leads to far-reaching consequences. It becomes possible to introduce a scalar product
of vectors and use all the possibilities of linear algebra. There are half, or vice versa double corners - depending
on which side to look at it. But at the same time, it becomes necessary to distinguish between
the real physical space in which the electron is located and the mathematical (spinor) space in which
the rotation of this electron is mathematically described. If an electron makes one revolution in spinor space,
then in physical space the same electron actually makes two revolutions.
The third chapter presents an interactive program that demonstrates half angles when describing electron rotations in spinor space. As already mentioned, the appearance of half angles is a direct consequence of the replacement of oppositely directed vectors with orthogonal vectors. In this chapter, and in the interactive program from it, special attention is paid to the choice of basis vectors that will be used in the next chapter in a 3D program visualizing electron rotations in physical and spinor spaces.
The fourth chapter provides a 3D program that allows you to observe the rotations of an electron in physical and spinor spaces.
At the same time, you can see the corresponding values of the state vector of the quantum system.
In a sense, this program is similar to the Bloch sphere visualization program. However, in my opinion,
it more clearly demonstrates changes in the state vector when simultaneously visualizing
electron rotations in both physical and spinor spaces.
This chapter also provides detailed solutions to three problems from the book by Susskind and Friedman
(there are no solutions to them in the book). These tasks clearly demonstrate some important aspects of quantum computing,
which will be needed in the sixth chapter, which is devoted to quantum rotations. When considering the solution of these problems,
the meaning of eigenvectors and eigenvalues of quantum operators is very well manifested.
The fifth chapter deals with the Bloch-Riemann-Poincare sphere. The corresponding interactive program is provided. In this chapter, I wanted to touch on the theory of spinors, but decided that it would be better to make a reference to a book that, unlike other books and articles, seems to me to explain this theory most clearly "Twenty-First Century Quantum Mechanics: Hilbert Space to Quantum Computers" by Guido Fano fnd S.M. Blinder.
In the sixth chapter, using the program given in it, you can see the visualization of three-dimensional rotations
on the Bloch-Riemann-Poincare sphere. At the same time, a fractional-linear transformation is carried out in the program and,
as a consequence, rotations are displayed not only on the sphere, but also on the complex plane.
Perhaps this is the most interesting program listed on this site.
Also in the program you can see the rotation of the Bloch vector, which is carried out using three
Pauli matrices and the Hadamard matrix. Mathematical calculations used in the description of these rotations are given.
The programs from the first, fourth, fifth and sixth chapters are made using the three.js that allows you to work with webgl technology. The programs from the second and third chapters are based on HTML5 Canvas. When creating the programs of this site, I used my previously made sites, which can be seen by the links Three.js and geometry and Canvas and geometry.